Substitution – Exkurs

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Substitution

Unter Substitution (Latein: substituere = „ersetzen“) versteht man das Ersetzen eines Terms durch einen anderen. Das bedeutet, dass eine Gleichung oder ein zu lösendes Problem noch einmal mit anderen Symbolen ausgedrückt wird. Ein Beispiel:

$a\cdot(x+c) = b\cdot(x+c)$

Nehmen wir hier die Substitution $x+c\rightarrow y$ vor - wir fassen also die Symbole $x+c$ zu dem neuen Symbol $y$ zusammen - so erhalten wir eine etwas anders aussehende Gleichung, die aber immer noch dieselbe Information enthält:

$a\cdot y = b \cdot y$

Das sieht vielleicht erst einmal so aus, als würde es dir gar nichts bringen, da du ja nur die gleiche Rechnung mit anderen Symbolen durchführst. Doch manchmal hilft dir die Substitution, ein Problem zu lösen, für das es sonst keine allgemeine Lösungsformel gibt.

Ein Beispiel hierfür sind Polynome vierten Grades, in denen die Variable nur in den Potenzen $4$, $2$ und $0$ vorkommt:

$a\cdot x^4 + b \cdot x^2 + c\cdot x^0 = 0$

Die allgemeine Lösungsformel für Polynome vierten Grades ist extrem kompliziert. Wenn wir aber die Substitution $u=x^{2}$ vornehmen, dann gilt $x^{4} = u^{2}$ und $x^{2}=u$. Unsere Gleichung sieht jetzt also folgendermaßen aus:

$a\cdot u^2 +b\cdot u + c = 0$

Damit haben wir das Problem auf eine quadratische Gleichung reduziert. Nun können wir die quadratische Gleichung problemlos lösen.

Substitution ist auch in vielen anderen Teilgebieten der Mathematik ein wichtiges Werkzeug, vor allem aber bei der Integration durch Substitution.