Gleichsetzungsverfahren – Übungen

Rechnung:

$$ \begin{array}{rrcll} \text{Gleichsetzen:} & 5y - 3 & = & 4 - 2y & \vert +2y \\ & 7y - 3 & = & 4 & \vert +3 \\ & 7y & = & 7 & \vert :7 \\ & y & = & 1 \\ \\ y \text{ in II:} & x & = & 4 - 2 \cdot 1 \\ & x & = & 2 \end{array}$$

Vorgehen:

• Die linke Seite ist bei beiden Gleichungen $x$, wir setzen die rechten Seiten gleich.
• Durch schrittweises Umformen erhalten wir $y = 1$.
• Wir setzen $y = 1$ in die zweite Gleichung ein und berechnen $x = 2$.

Lösung:
$\underline{\underline{x = 2}}$ und $\underline{\underline{y = 1}}$

Rechnung:

$$ \begin{array}{rrcll} \text{Gleichsetzen:} & 5 + 2x & = & -1 - 4x & \vert +4x \\ & 5 + 6x & = & -1 & \vert -5 \\ & 6x & = & -6 & \vert :6 \\ & x & = & -1 \\ \\ x \text{ in I:} & y & = & 5 + 2 \cdot (-1) \\ & y & = & 3 \end{array}$$

Vorgehen:

• Die linke Seite ist in beiden Gleichungen $y$, daher setzen wir die rechten Seiten gleich.
• Nach Umformung ergibt sich $x = -1$.
• Durch Einsetzen in eine der Ausgangsgleichungen erhalten wir $y = 3$.

Lösung:
$\underline{\underline{x = -1}}$ und $\underline{\underline{y = 3}}$

Rechnung:

$$ \begin{array}{rrcll} \text{Gleichsetzen:} & 4 + y & = & -3y - 4 & \vert +3y \\ & 4 + 4y & = & -4 & \vert -4 \\ & 4y & = & -8 & \vert :4 \\ & y & = & -2 \\ \\ y \text{ in I:} & x & = & 4 + (-2) \\ & x & = & 2 \end{array}$$

Vorgehen:

• Beide Gleichungen sind nach $x$ gelöst – wir setzen die linke Seite der ersten Gleichung gleich der rechten Seiten der zweiten Gleichung.
• Umformung ergibt $y = -2$.
• Durch Einsetzen in eine der Ausgangsgleichungen erhalten wir $x = 2$.

Lösung:
$\underline{\underline{x = 2}}$ und $\underline{\underline{y = -2}}$

Rechnung:

$$ \begin{array}{rrcll} \text{Gleichsetzen:} & -y & = & 6 + y & \vert +y \\ & 0 & = & 6 + 2y & \vert -6 \\ & -6 & = & 2y & \vert :2 \\ & y & = & -3 \\ \\ y \text{ in I:} & -(-3) & = & 2x \\ & 3 & = & 2x & \vert :2 \\ & x & = & 1{,}5 \end{array}$$

Vorgehen:

• Beide Gleichungen enthalten $2x$ auf der rechten Seite – also setzen wir die linken Seiten gleich.
• Nach Umformung ergibt sich $y = -3$.
• Durch Einsetzen in eine der Ausgangsgleichungen erhalten wir $x = 1{,}5$.

Lösung:
$\underline{\underline{x = 1{,}5}}$ und $\underline{\underline{y = -3}}$

Rechnung:

$$ \begin{array}{rrcll} \text{Gleichsetzen:} & 2x - 3 & = & -7{,}5 - x & \vert +x \\ & 3x - 3 & = & -7{,}5 & \vert +3 \\ & 3x & = & -4{,}5 & \vert :3 \\ & x & = & -1{,}5 \\ \\ x \text{ in I:} & 3y & = & 2 \cdot (-1{,}5) - 3 \\ & 3y & = & -3 - 3 \\ & 3y & = & -6 & \vert :3 \\ & y & = & -2 \end{array}$$

Vorgehen:

• Da beide Gleichungen mit $3y$ beginnen, setzen wir die rechten Seiten gleich.
• Wir lösen nach $x$ auf und setzen den berechneten Wert in eine der Ursprungsgleichungen ein, um $y$ zu bestimmen.

Lösung:
$\underline{\underline{x = -1{,}5}}$ und $\underline{\underline{y = -2}}$

Rechnung:

$$ \begin{array}{rrcll} \text{Gleichsetzen:} & 3y - 4 & = & 2 - 6y & \vert +6y \\ & 9y - 4 & = & 2 & \vert +4 \\ & 9y & = & 6 & \vert :9 \\ & y & = & \dfrac{2}{3} \\ \\ y \text{ in I:} & 6x - 1 & = & 3 \cdot \dfrac{2}{3} - 4 \\ & 6x - 1 & = & 2 - 4 \\ & 6x - 1 & = & -2 & \vert +1 \\ & 6x & = & -1 & \vert :6 \\ & x & = & -\dfrac{1}{6} \end{array}$$

Vorgehen:

• Da beide Gleichungen mit $6x - 1$ beginnen, setzen wir die rechten Seiten gleich.
• Wir lösen nach $y$ auf und setzen den berechnen Wert in eine der Ursprungsgleichungen ein, um $x$ zu bestimmen.

Lösung:
$\underline{\underline{x = -\dfrac{1}{6}}}$ und $\underline{\underline{y = \dfrac{2}{3}}}$

$$ \begin{array}{rrcl} \text{I:} & 2x & = & 3y - 5 \\ \text{II:} & 2x + y & = & 3 \\ \\ \text{II:} & 2x + y & = & 3 & \vert -y \\ \text{II:} & 2x & = & 3 - y \end{array}$$

• $\text{II:} ~~ 2x = 3 - y$
  Wir subtrahieren $y$ auf beiden Seiten, um $2x$ allein auf einer Seite zu haben – damit können wir die beiden Gleichungen im nächsten Schritt gleichsetzen.

$$ \begin{array}{rrcl} \text{I:} & x + 2y & = & 6 \\ \text{II:} & 3 - y & = & x \\ \\ \text{I:} & x + 2y & = & 6 & \vert -2y \\ \text{I:} & x & = & 6 - 2y \end{array}$$

• $\text{I:}~~ x = 6 - 2y$
  Die erste Gleichung wird nach $x$ umgestellt, damit beide Gleichungen in der Form $x = \dots$ vorliegen und gleichgesetzt werden können.

$$ \begin{array}{rrcl} \text{I:} & 3x & = & 10 + y \\ \text{II:} & 2y & = & 3x + 4 \\ \\ \text{II:} & 2y & = & 3x + 4 & \vert -4 \\ \text{II:} & 2y - 4 & = & 3x \end{array}$$

• $\text{II:} ~~ 3x = 2y - 4$
  Wir isolieren $3x$ in der zweiten Gleichung – so können wir die jeweils andere Seite der Gleichungen gleichsetzen.

$$ \begin{array}{rrcl} \text{I:} & 4x + 2 & = & 2y \\ \text{II:} & 4x & = & 5y - 6 \\ \\ \text{II:} & 4x & = & 5y - 6 & \vert +2 \\ \text{II:} & 4x + 2 & = & 5y - 4 \end{array}$$

• $\text{II:} ~~ 4x + 2 = 5y - 4$
  Wenn wir in der zweiten Gleichung $2$ addieren, stimmen die linken Seiten bei beiden Gleichungen überein und wir können die rechten Seiten gleichsetzen.

$$ \begin{array}{rrcl} \text{I:} & 6y & = & 2x + 12 \\ \text{II:} & 3y & = & -6 + x \\ \\ \text{I:} & 6y & = & 2x + 12 & \vert :2 \\ \text{I:} & 3y & = & x + 6 \end{array}$$

• $\text{I:} ~~ 3y = x + 6$
  Wir teilen die erste Gleichung durch $2$, um $3y$ zu erhalten – dann können wir gleichsetzen.

Rechnung:

$$ \begin{array}{rrcll} \text{II:} & x & = & y + 3 & \vert \cdot 2 \\ & 2x & = & 2y + 6 \\ \\ \text{Gleichsetzen:} & 7y - 4 & = & 2y + 6 & \vert -2y \\ & 5y - 4 & = & 6 & \vert +4 \\ & 5y & = & 10 & \vert :5 \\ & y & = & 2 \\ \\ y \text{ in II:} & x & = & 2 + 3 \\ & x & = & 5 \end{array}$$

Vorgehen:

• Wir multiplizieren die zweite Gleichung mit $2$, damit in beiden Gleichungen $2x$ steht.
• Dann setzen wir die rechten Seiten gleich und lösen nach $y$.
• Das Ergebnis wird in die zweite Gleichung eingesetzt, um $x$ zu berechnen.

Lösung:
$\underline{\underline{x = 5}}$ und $\underline{\underline{y = 2}}$

Rechnung:

$$ \begin{array}{rrcll} \text{II:} & 9 & = & 3y - x & \vert -3y \\ & 9 - 3y & = & -x \\ \\ \text{Gleichsetzen:} & 5 - y & = & 9 - 3y & \vert +3y \\ & 5 + 2y & = & 9 & \vert -5 \\ & 2y & = & 4 & \vert :2 \\ & y & = & 2 \\ \\ y \text{ in I:} & -x & = & 5 - 2 \\ & -x & = & 3 & \vert \cdot (-1) \\ & x & = & -3 \\ \end{array}$$

Vorgehen:

• Wir stellen die zweite Gleichung nach $-x$ um.
• Anschließend setzen wir die jeweils anderen Seiten gleich und lösen nach $y$.
• Mit dem Wert für $y$ eingesetzt in die erste Gleichung berechnen wir $x$.

Lösung:
$\underline{\underline{x = -3}}$ und $\underline{\underline{y = 2}}$

Rechnung:

$$ \begin{array}{rrcll} \text{I:} & 10 & = & 2x - 2y & \vert +2y \\ & 10 + 2y & = & 2x \\ \\ \text{II:} & 4y & = & 2x - 18 & \vert +18 \\ & 4y + 18 & = & 2x \\ \\ \text{Gleichsetzen:} & 10 + 2y & = & 4y + 18 & \vert -2y \\ & 10 & = & 2y + 18 & \vert -18 \\ & -8 & = & 2y & \vert :2 \\ & y & = & -4 \\ \\ y \text{ in I:} & 2x & = & 10 + 2 \cdot (-4) \\ & 2x & = & 10 - 8 \\ & 2x & = & 2 & \vert :2 \\ & x & = & 1 \end{array}$$

Vorgehen:

• Wir stellen beide Gleichungen nach $2x$ um.
• Anschließend setzen wir die linken Seiten gleich und lösen nach $y$.
• Mit dem Wert für $y$ berechnen wir $x$.

Lösung:
$\underline{\underline{x = 1}}$ und $\underline{\underline{y = -4}}$

Rechnung:

$$ \begin{array}{rrcll} \text{I:} & 2y - 4 & = & 4x & \vert +4 \\ & 2y & = & 4x + 4 \\ \\ \text{Gleichsetzen:} & 4x + 4 & = & 2x + 7 & \vert -2x \\ & 2x + 4 & = & 7 & \vert -4 \\ & 2x & = & 3 & \vert :2 \\ & x & = & 1{,}5 \\ \\ x \text{ in I:} & 2y & = & 4 \cdot 1{,}5 + 4 \\ & 2y & = & 6 + 4 \\ & 2y & = & 10 & \vert :2 \\ & y & = & 5 \end{array}$$

Vorgehen:

• Wir stellen die erste Gleichung nach $2y$ um.
• Nun können wir die jeweils andere Seite gleichsetzen und nach $x$ auflösen.
• Mit dem Wert für $x$ berechnen wir $y$.

Lösung:
$\underline{\underline{x = 1{,}5}}$ und $\underline{\underline{y = 5}}$

Rechnung:

$$ \begin{array}{rrcll} \text{II:} & -10 + 3y & = & 1{,}5 - x & \vert +10 \\ & 3y & = & 11{,}5 - x \\ \\ \text{Gleichsetzen:} & 2x - 0{,}5 & = & 11{,}5 - x & \vert +0{,}5 \\ & 2x & = & 12 - x & \vert +x \\ & 3x & = & 12 & \vert :3 \\ & x & = & 4 \\ \\ x \text{ in I:} & 3y & = & 2 \cdot 4 - 0{,}5 \\ & 3y & = & 8 - 0{,}5 \\ & 3y & = & 7{,}5 & \vert :3 \\ & y & = & 2{,}5 \end{array}$$

Vorgehen:

• Wir stellen die zweite Gleichung nach $3y$ um und setzen gleich.
• Dann lösen wir nach $x$ und setzen in eine der Ausgangsgleichungen ein, um $y$ zu berechnen.

Lösung:
$\underline{\underline{x = 4}}$ und $\underline{\underline{y = 2{,}5}}$

Rechnung:

$$ \begin{array}{rrcll} \text{II:} & 5y & = & 3x - 7 & \vert +7 \\ & 5y + 7 & = & 3x \\ \\ \text{Gleichsetzen:} & 1 - y & = & 5y + 7 & \vert +y \\ & 1 & = & 6y + 7 & \vert -7 \\ & -6 & = & 6y & \vert :6 \\ & -1 & = & y \\ \\ y \text{ in I:} & 3x & = & 1 - (-1) \\ & 3x & = & 2 & \vert :3 \\ & x & = & \dfrac{2}{3} \end{array}$$

Vorgehen:

• Wir stellen die zweite Gleichung nach $3x$ um.
• Dann setzen wir die anderen Seiten gleich und lösen nach $y$.
• Anschließend berechnen wir $x$ mit dem gefundenen $y$.

Lösung:
$\underline{\underline{x = \dfrac{2}{3}}}$ und $\underline{\underline{y = -1}}$

Beim Umstellen der ersten Gleichung nach $x$ wurde $5$ subtrahiert, statt zu addieren:

$$\begin{array}{rrcll} \text{I:} & x - 5 & = & 2y & \vert \color{#EB5251}{-5} \\ & x & = & 2y \color{#EB5251}{~-~ 5} \end{array}$$

Richtige Rechnung:

$$\begin{array}{rrcll} \text{I:} & x - 5 & = & 2y & \vert \color{#55CE54}{+5} \\ & x & = & 2y \color{#55CE54}{~+~ 5} \\ \\ \text{Gleichsetzen:} & 2y + 5 & = & 3y + 6 & \vert -2y \\ & 5 & = & y + 6 & \vert -6 \\ & -1 & = & y \\ \\ y \text{ in II:} & x & = & 3 \cdot (-1) + 6 \\ & x & = & 3 \end{array}$$

Lösung des Gleichungssystems:
$\underline{\underline{x = 3}}$ und $\underline{\underline{y = -1}}$

Bei der Division der zweiten Gleichung durch $2$ wurde $10$ auf der rechten Seite vergessen.

$$\begin{array}{rrcll} \text{II:} & 2y & = & 4x + 10 & \vert :2 \\ & y & = & 2x + \color{#EB5251}{10} \end{array}$$

Richtige Rechnung:

$$\begin{array}{rrcll} \text{II:} & 2y & = & 4x + 10 & \vert :2 \\ & y & = & 2x + \color{#55CE54}{5} \\ \\ \text{Gleichsetzen:} & -1 - x & = & 2x + 5 & \vert +x \\ & -1 & = & 3x + 5 & \vert -5 \\ & -6 & = & 3x & \vert :3 \\ & -2 & = & x \\ \\ x \text{ in I:} & y & = & -1 - (-2) \\ & y & = & 1 \end{array}$$

Lösung des Gleichungssystems:
$\underline{\underline{x = -2}}$ und $\underline{\underline{y = 1}}$

Beim Einsetzen von $y = -0{,}5$ in die erste Gleichung wurde der Faktor $3$ vor $x$ vergessen.

$$\begin{array}{rrcll} \text{Gleichsetzen:} & -9y & = & 3 - 3y & \vert +3y \\ & -6y & = & 3 & \vert :(-6) \\ & y & = & -0{,}5 \\ \\ y \text{ in I:} & \color{#EB5251}{x} & = & -9 \cdot (-0{,}5) \end{array}$$

Richtige Rechnung:

$$\begin{array}{rrcll} \text{Gleichsetzen:} & -9y & = & 3 - 3y & \vert +3y \\ & -6y & = & 3 & \vert :(-6) \\ & y & = & -0{,}5 \\ \\ y \text{ in I:} & \color{#55CE54}{3x} & = & -9 \cdot (-0{,}5) \\ & 3x & = & 4{,}5 & \vert \color{#55CE54}{:3} \\ & x & = & 1{,}5 \end{array}$$

Lösung des Gleichungssystems:
$\underline{\underline{x = 1{,}5}}$ und $\underline{\underline{y = -0{,}5}}$